Selesaikan 4z^2+60z=800

$$4 z ^ { 2 } + 60 z = 800$$

Selesaikan untuk z

$$z = \frac{5 \sqrt{41} - 15}{2} \approx 8.507810594$$

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}\approx -23.507810594$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4z^{2}+60z=800$$

Tolak 800 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4z^{2}+60z-800=800-800$$

Menolak 800 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4z^{2}+60z-800=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, 60 dengan b dan -800 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Kuasa dua 60.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-16\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali -800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600+12800}}{2\times 4}$$

Tambahkan 3600 pada 12800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{16400}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 16400.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan -60 pada 20\sqrt{41}.

$$z=\frac{20\sqrt{41}-60}{8}$$

Bahagikan -60+20\sqrt{41} dengan 8.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 20\sqrt{41} daripada -60.

$$z=\frac{-20\sqrt{41}-60}{8}$$

Bahagikan -60-20\sqrt{41} dengan 8.

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4z^{2}+60z=800$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4z^{2}+60z}{4}=\frac{800}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$z^{2}+\frac{60}{4}z=\frac{800}{4}$$

Bahagikan 60 dengan 4.

$$z^{2}+15z=\frac{800}{4}$$

Bahagikan 800 dengan 4.

$$z^{2}+15z=200$$

Bahagikan 15 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{15}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{15}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$z^{2}+15z+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=200+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{15}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=200+\frac{225}{4}$$

Tambahkan 200 pada \frac{225}{4}.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=\frac{1025}{4}$$

Faktor z^{2}+15z+\frac{225}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{1025}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1025}{4}}$$

Permudahkan.

$$z+\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{41}}{2} z+\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{41}}{2}$$

Tolak \frac{15}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$