Selesaikan 4y^2-9y+2=0

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

Selesaikan untuk y

$$y=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 4y^{2}+ay+by+2. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -9.

$$a=-8 b=-1$$

Tulis semula 4y^{2}-9y+2 sebagai \left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right).

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

Faktorkan 4y dalam kumpulan pertama dan -1 dalam kumpulan kedua.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim y-2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan y-2=0 dan 4y-1=0.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -9 dengan b dan 2 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -9.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali 2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

Tambahkan 81 pada -32.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 49.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -9 ialah 9.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{9±7}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 9 pada 7.

$$y=\frac{16}{8}$$

Bahagikan 16 dengan 8.

$$y=2$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{9±7}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 7 daripada 9.

$$y=\frac{2}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{2}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$y=\frac{1}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

Menolak 2 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4y^{2}-9y=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-2}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Bahagikan -\frac{9}{4} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{9}{8}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{9}{8} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{9}{8} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

Tambahkan -\frac{1}{2} pada \frac{81}{64} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

Faktor y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Permudahkan.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Tambahkan \frac{9}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$