Selesaikan 4y^2-7y+1=0

$$4 y ^ { 2 } - 7 y + 1 = 0$$

Selesaikan untuk y

$$y = \frac{\sqrt{33} + 7}{8} \approx 1.593070331$$

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}\approx 0.156929669$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -7 dengan b dan 1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -7.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16}}{2\times 4}$$

Tambahkan 49 pada -16.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -7 ialah 7.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 7 pada \sqrt{33}.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} apabila ± ialah minus. Tolak \sqrt{33} daripada 7.

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4y^{2}-7y+1-1=-1$$

Menolak 1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4y^{2}-7y=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4y^{2}-7y}{4}=-\frac{1}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Bahagikan -\frac{7}{4} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{7}{8}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{7}{8} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{7}{8} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Tambahkan -\frac{1}{4} pada \frac{49}{64} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=\frac{33}{64}$$

Faktor y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{33}{64}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{64}}$$

Permudahkan.

$$y-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{33}}{8} y-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{33}}{8}$$

Tambahkan \frac{7}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$