Selesaikan 4y^2-56y=108

$$4 y ^ { 2 } - 56 y = 108$$

Selesaikan untuk y

$$y=2\sqrt{19}+7\approx 15.717797887$$

$$y=7-2\sqrt{19}\approx -1.717797887$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4y^{2}-56y=108$$

Tolak 108 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4y^{2}-56y-108=108-108$$

Menolak 108 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4y^{2}-56y-108=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -56 dengan b dan -108 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -56.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-16\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali -108.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136+1728}}{2\times 4}$$

Tambahkan 3136 pada 1728.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{4864}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 4864.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -56 ialah 56.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 56 pada 16\sqrt{19}.

$$y=\frac{16\sqrt{19}+56}{8}$$

Bahagikan 56+16\sqrt{19} dengan 8.

$$y=2\sqrt{19}+7$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 16\sqrt{19} daripada 56.

$$y=\frac{56-16\sqrt{19}}{8}$$

Bahagikan 56-16\sqrt{19} dengan 8.

$$y=7-2\sqrt{19}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-56y=108$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4y^{2}-56y}{4}=\frac{108}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{56}{4}\right)y=\frac{108}{4}$$

Bahagikan -56 dengan 4.

$$y^{2}-14y=\frac{108}{4}$$

Bahagikan 108 dengan 4.

$$y^{2}-14y=27$$

Bahagikan -14 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -7. Kemudian tambahkan kuasa dua -7 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$y^{2}-14y+\left(-7\right)^{2}=27+\left(-7\right)^{2}$$

Kuasa dua -7.

$$y^{2}-14y+49=27+49$$

Tambahkan 27 pada 49.

$$y^{2}-14y+49=76$$

Faktor y^{2}-14y+49. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-7\right)^{2}=76$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(y-7\right)^{2}}=\sqrt{76}$$

Permudahkan.

$$y-7=2\sqrt{19} y-7=-2\sqrt{19}$$

Tambahkan 7 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$