Selesaikan 4x-y-10=0;3x+5y-19=0

$$4 x - y - 10 = 0 ; 3 x + 5 y - 19 = 0$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-y-10=0,3x+5y-19=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-y-10=0$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x-y=10$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali y+10.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{y}{4}+\frac{5}{2} dengan x dalam persamaan lain, 3x+5y-19=0.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}\right)+5y-19=0$$

Darabkan 3 kali \frac{y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}+5y-19=0$$

Tambahkan \frac{3y}{4} pada 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{15}{2}-19=0$$

Tambahkan \frac{15}{2} pada -19.

$$\frac{23}{4}y-\frac{23}{2}=0$$

Tambahkan \frac{23}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{23}{4}y=\frac{23}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{23}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

Darabkan \frac{1}{4} kali 2.

$$x=\frac{1+5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada \frac{1}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-y-10=0,3x+5y-19=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{1}{23}\\-\frac{3}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 10+\frac{1}{23}\times 19\\-\frac{3}{23}\times 10+\frac{4}{23}\times 19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-y-10=0,3x+5y-19=0$$

Untuk menjadikan 4x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y+3\left(-10\right)=0,4\times 3x+4\times 5y+4\left(-19\right)=0$$

Permudahkan.

$$12x-3y-30=0,12x+20y-76=0$$

Tolak 12x+20y-76=0 daripada 12x-3y-30=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x-3y-20y-30+76=0$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y-20y-30+76=0$$

Tambahkan -3y pada -20y.

$$-23y-30+76=0$$

Tambahkan -30 pada 76.

$$-23y+46=0$$

Tolak 46 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-23y=-46$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -23.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 3x+5y-19=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+5\times 2-19=0$$

Darabkan 5 kali 2.

$$3x+10-19=0$$

Tambahkan 10 pada -19.

$$3x-9=0$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=2$$