Selesaikan 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-y=5$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Gantikan \frac{5+y}{4} dengan x dalam persamaan lain, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Darabkan -4 kali \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Tambahkan -y pada 5y.

$$4y-5=7$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Darabkan \frac{1}{4} kali 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Tambahkan \frac{5}{4} pada \frac{3}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Untuk menjadikan 4x dan -4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Permudahkan.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Tolak -16x+20y=28 daripada -16x+4y=-20 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Tambahkan -16x pada 16x. Seubtan -16x dan 16x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y-20y=-20-28$$

Tambahkan 4y pada -20y.

$$-16y=-20-28$$

Tambahkan -20 pada -28.

$$-16y=-48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -16.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam -4x+5y=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-4x+5\times 3=7$$

Darabkan 5 kali 3.

$$-4x+15=7$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=3$$