Selesaikan 4x^3+2x^2+x+7=49

$$4 x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + x + 7 = 49$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{59}i-5}{4}\approx -1.25-1.920286437i$$

$$x=2$$

$$x=\frac{-5+\sqrt{59}i}{4}\approx -1.25+1.920286437i$$

Langkah Penyelesaian

Tolak 49 daripada kedua-dua belah.

$$4x^{3}+2x^{2}+x+7-49=0$$

Tolak 49 daripada 7 untuk mendapatkan -42.

$$4x^{3}+2x^{2}+x-42=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -42 dan q membahagikan pekali pelopor 4. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±\frac{21}{2},±21,±42,±\frac{21}{4},±\frac{7}{2},±7,±14,±\frac{7}{4},±\frac{3}{2},±3,±6,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±1,±2,±\frac{1}{4}$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=2$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan 4x^{3}+2x^{2}+x-42 dengan x-2 untuk mendapatkan 4x^{2}+10x+21. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$4x^{2}+10x+21=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 4 untuk a, 10 untuk b dan 21 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 4\times 21}}{2\times 4}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{-10±\sqrt{-236}}{8}$$

Selesaikan persamaan 4x^{2}+10x+21=0 apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i-5}{4} x=\frac{-5+\sqrt{59}i}{4}$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$x=2 x=\frac{-\sqrt{59}i-5}{4} x=\frac{-5+\sqrt{59}i}{4}$$

Selesaikan untuk x

$$x=2$$

Langkah Penyelesaian

Tolak 49 daripada kedua-dua belah.

$$4x^{3}+2x^{2}+x+7-49=0$$

Tolak 49 daripada 7 untuk mendapatkan -42.

$$4x^{3}+2x^{2}+x-42=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -42 dan q membahagikan pekali pelopor 4. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±\frac{21}{2},±21,±42,±\frac{21}{4},±\frac{7}{2},±7,±14,±\frac{7}{4},±\frac{3}{2},±3,±6,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±1,±2,±\frac{1}{4}$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=2$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan 4x^{3}+2x^{2}+x-42 dengan x-2 untuk mendapatkan 4x^{2}+10x+21. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$4x^{2}+10x+21=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 4 untuk a, 10 untuk b dan 21 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 4\times 21}}{2\times 4}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{-10±\sqrt{-236}}{8}$$

Oleh kerana punca kuasa dua nombor negatif tidak ditakrifkan dalam medan sebenar, tiada penyelesaian.

$$x\in \emptyset$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$x=2$$