Selesaikan 4x^2-9x-9=0

$$4 x ^ { 2 } - 9 x - 9 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=3$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 4x^{2}+ax+bx-9. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-9 ab=4\left(-9\right)=-36$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -9.

$$a=-12 b=3$$

Tulis semula 4x^{2}-9x-9 sebagai \left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right)$$

Faktorkan 4x dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$4x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-3\right)\left(4x+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-3=0 dan 4x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -9 dengan b dan -9 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 4}$$

Tambahkan 81 pada 144.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 225.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -9 ialah 9.

$$x=\frac{9±15}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{9±15}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{9±15}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 9 pada 15.

$$x=\frac{24}{8}$$

Bahagikan 24 dengan 8.

$$x=3$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{9±15}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 15 daripada 9.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{-6}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}-9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Menolak -9 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}-9x=-\left(-9\right)$$

Tolak -9 daripada 0.

$$4x^{2}-9x=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=\frac{9}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=\frac{9}{4}$$

Bahagikan -\frac{9}{4} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{9}{8}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{9}{8} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{9}{8} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{9}{4}+\frac{81}{64}$$

Tambahkan \frac{9}{4} pada \frac{81}{64} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{225}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{15}{8}$$

Tambahkan \frac{9}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$