Selesaikan 4x^2-8x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - 8 x - 5 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 4x^{2}+ax+bx-5. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-8 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -8.

$$a=-10 b=2$$

Tulis semula 4x^{2}-8x-5 sebagai \left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right)$$

Faktorkan 2x dalam 4x^{2}-10x.

$$2x\left(2x-5\right)+2x-5$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-5=0 dan 2x+1=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -8 dengan b dan -5 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali -5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 4}$$

Tambahkan 64 pada 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -8 ialah 8.

$$x=\frac{8±12}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{8±12}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{8±12}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 8 pada 12.

$$x=\frac{20}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{20}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{8±12}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 12 daripada 8.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{-4}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}-8x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Menolak -5 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}-8x=-\left(-5\right)$$

Tolak -5 daripada 0.

$$4x^{2}-8x=5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=\frac{5}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=\frac{5}{4}$$

Bahagikan -8 dengan 4.

$$x^{2}-2x=\frac{5}{4}$$

Bahagikan -2 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -1. Kemudian tambahkan kuasa dua -1 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{4}+1$$

Tambahkan \frac{5}{4} pada 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{9}{4}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-1=\frac{3}{2} x-1=-\frac{3}{2}$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$