Selesaikan 4x^2-7x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 1 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 7}{8} \approx 1.882782219$$

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}\approx -0.132782219$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -7 dengan b dan -1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Tambahkan 49 pada 16.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -7 ialah 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 7 pada \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} apabila ± ialah minus. Tolak \sqrt{65} daripada 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Menolak -1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

Tolak -1 daripada 0.

$$4x^{2}-7x=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{1}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

Bahagikan -\frac{7}{4} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{7}{8}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{7}{8} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{7}{8} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Tambahkan \frac{1}{4} pada \frac{49}{64} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Tambahkan \frac{7}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$