Selesaikan 4x^2-7x+3=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 4x^{2}+ax+bx+3. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-7 ab=4\times 3=12$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -7.

$$a=-4 b=-3$$

Tulis semula 4x^{2}-7x+3 sebagai \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Faktorkan 4x dalam kumpulan pertama dan -3 dalam kumpulan kedua.

$$4x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-1\right)\left(4x-3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-1=0 dan 4x-3=0.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -7 dengan b dan 3 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

Tambahkan 49 pada -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -7 ialah 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{7±1}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±1}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 7 pada 1.

$$x=\frac{8}{8}$$

Bahagikan 8 dengan 8.

$$x=1$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±1}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 1 daripada 7.

$$x=\frac{6}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{6}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{3}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}-7x+3-3=-3$$

Menolak 3 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}-7x=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=-\frac{3}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{3}{4}$$

Bahagikan -\frac{7}{4} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{7}{8}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{7}{8} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{7}{8} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Tambahkan -\frac{3}{4} pada \frac{49}{64} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{1}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

Tambahkan \frac{7}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$