Selesaikan 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=1$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 4x^{2}+ax+bx+1. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -5.

$$a=-4 b=-1$$

Tulis semula 4x^{2}-5x+1 sebagai \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

Faktorkan 4x dalam kumpulan pertama dan -1 dalam kumpulan kedua.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-1=0 dan 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -5 dengan b dan 1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Tambahkan 25 pada -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -5 ialah 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±3}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 5 pada 3.

$$x=\frac{8}{8}$$

Bahagikan 8 dengan 8.

$$x=1$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±3}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 3 daripada 5.

$$x=\frac{2}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{2}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

Menolak 1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}-5x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Bahagikan -\frac{5}{4} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{8}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{8} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{8} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Tambahkan -\frac{1}{4} pada \frac{25}{64} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Tambahkan \frac{5}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$