Selesaikan 4x^2-18x+5=0

$$4 x ^ { 2 } - 18 x + 5 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{\sqrt{61} + 9}{4} \approx 4.202562419$$

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}\approx 0.297437581$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -18 dengan b dan 5 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-16\times 5}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali 5.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-80}}{2\times 4}$$

Tambahkan 324 pada -80.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{244}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 244.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -18 ialah 18.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 18 pada 2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+18}{8}$$

Bahagikan 18+2\sqrt{61} dengan 8.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 2\sqrt{61} daripada 18.

$$x=\frac{18-2\sqrt{61}}{8}$$

Bahagikan 18-2\sqrt{61} dengan 8.

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}-18x+5-5=-5$$

Menolak 5 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}-18x=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}-18x}{4}=-\frac{5}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{4}\right)x=-\frac{5}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-18}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{4}$$

Bahagikan -\frac{9}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{9}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{9}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{9}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{4}+\frac{81}{16}$$

Tambahkan -\frac{5}{4} pada \frac{81}{16} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{61}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{61}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{16}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{61}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{61}}{4}$$

Tambahkan \frac{9}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$