Selesaikan 4x^2-14x+13=0

$$4 x ^ { 2 } - 14 x + 13 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4}\approx 1.75+0.433012702i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}\approx 1.75-0.433012702i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}-14x+13=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -14 dengan b dan 13 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\times 13}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\times 13}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\times 13}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali 13.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-208}}{2\times 4}$$

Tambahkan 196 pada -208.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-12}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua -12.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -14 ialah 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 14 pada 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{14+2\sqrt{3}i}{8}$$

Bahagikan 14+2i\sqrt{3} dengan 8.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 2i\sqrt{3} daripada 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i+14}{8}$$

Bahagikan 14-2i\sqrt{3} dengan 8.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-14x+13=0$$

Tolak 13 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}-14x+13-13=-13$$

Menolak 13 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}-14x=-13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=-\frac{13}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=-\frac{13}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-14}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{13}{4}$$

Bahagikan -\frac{7}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{7}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{7}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{13}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{7}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{13}{4}+\frac{49}{16}$$

Tambahkan -\frac{13}{4} pada \frac{49}{16} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{16}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{3}i}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{3}i}{4}$$

Tambahkan \frac{7}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$