Selesaikan 4x^2-12x+9=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x + 9 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 4x^{2}+ax+bx+9. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-12 ab=4\times 9=36$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -12.

$$a=-6 b=-6$$

Tulis semula 4x^{2}-12x+9 sebagai \left(4x^{2}-6x\right)+\left(-6x+9\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(-6x+9\right)$$

Faktorkan 2x dalam kumpulan pertama dan -3 dalam kumpulan kedua.

$$2x\left(2x-3\right)-3\left(2x-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-3\right)\left(2x-3\right)$$

Tuliskan semula sebagai kuasa dua binomial.

$$\left(2x-3\right)^{2}$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-3=0.

$$x=\frac{3}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}-12x+9=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -12 dengan b dan 9 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

Tambahkan 144 pada -144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 0.

$$x=-\frac{-12}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -12 ialah 12.

$$x=\frac{12}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{12}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{12}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x+9=0$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}-12x+9-9=-9$$

Menolak 9 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}-12x=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

Bahagikan -12 dengan 4.

$$x^{2}-3x=-\frac{9}{4}$$

Bahagikan -3 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{3}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{3}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{3}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Tambahkan -\frac{9}{4} pada \frac{9}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=0$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{3}{2}=0 x-\frac{3}{2}=0$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan. Penyelesaian adalah sama.

$$x=\frac{3}{2}$$