Selesaikan 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1.375+1.268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1.375-1.268611446i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

Menolak 16 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Tolak 16 daripada 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -11 dengan b dan 14 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Tambahkan 121 pada -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua -103.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -11 ialah 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 11 pada i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} apabila ± ialah minus. Tolak i\sqrt{103} daripada 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Tolak 30 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

Menolak 30 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Tolak 30 daripada 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-14}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Bahagikan -\frac{11}{4} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{11}{8}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{11}{8} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{11}{8} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Tambahkan -\frac{7}{2} pada \frac{121}{64} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Tambahkan \frac{11}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$