Selesaikan 4x^2+6x+10=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}\approx -0.75+1.391941091i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}\approx -0.75-1.391941091i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}+6x+10=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, 6 dengan b dan 10 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Kuasa dua 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16\times 10}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-160}}{2\times 4}$$

Tambahkan 36 pada -160.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-124}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua -124.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan -6 pada 2i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{31}i}{8}$$

Bahagikan -6+2i\sqrt{31} dengan 8.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 2i\sqrt{31} daripada -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i-6}{8}$$

Bahagikan -6-2i\sqrt{31} dengan 8.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+6x+10=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}+6x+10-10=-10$$

Menolak 10 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}+6x=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{10}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{6}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{10}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-10}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Bahagikan \frac{3}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{3}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{3}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{3}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Tambahkan -\frac{5}{2} pada \frac{9}{16} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{31}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{31}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{16}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{31}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{31}i}{4}$$

Tolak \frac{3}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$