Selesaikan 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 4x^{2}+ax+bx-81. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 48.

$$a=-6 b=54$$

Tulis semula 4x^{2}+48x-81 sebagai \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Faktorkan 2x dalam kumpulan pertama dan 27 dalam kumpulan kedua.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-3=0 dan 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, 48 dengan b dan -81 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Kuasa dua 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Tambahkan 2304 pada 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-48±60}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan -48 pada 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{12}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-48±60}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 60 daripada -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{-108}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Tambahkan 81 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Menolak -81 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Tolak -81 daripada 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Bahagikan 48 dengan 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Bahagikan 12 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan 6. Kemudian tambahkan kuasa dua 6 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Kuasa dua 6.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Tambahkan \frac{81}{4} pada 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Faktor x^{2}+12x+36. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Permudahkan.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$