Selesaikan 4x^2+4x-35=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x - 35 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 4x^{2}+ax+bx-35. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=4 ab=4\left(-35\right)=-140$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -140.

$$-1,140 -2,70 -4,35 -5,28 -7,20 -10,14$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+140=139 -2+70=68 -4+35=31 -5+28=23 -7+20=13 -10+14=4$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 4.

$$a=-10 b=14$$

Tulis semula 4x^{2}+4x-35 sebagai \left(4x^{2}-10x\right)+\left(14x-35\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(14x-35\right)$$

Faktorkan 2x dalam kumpulan pertama dan 7 dalam kumpulan kedua.

$$2x\left(2x-5\right)+7\left(2x-5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+7\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-5=0 dan 2x+7=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{7}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}+4x-35=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, 4 dengan b dan -35 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-35\right)}}{2\times 4}$$

Kuasa dua 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-35\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-35\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali -35.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+560}}{2\times 4}$$

Tambahkan 16 pada 560.

$$x=\frac{-4±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 576.

$$x=\frac{-4±24}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{-4±24}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±24}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan -4 pada 24.

$$x=\frac{20}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{20}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±24}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 24 daripada -4.

$$x=-\frac{28}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{-28}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{7}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x-35=0$$

Tambahkan 35 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}+4x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Menolak -35 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}+4x=-\left(-35\right)$$

Tolak -35 daripada 0.

$$4x^{2}+4x=35$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{35}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{35}{4}$$

Bahagikan 4 dengan 4.

$$x^{2}+x=\frac{35}{4}$$

Bahagikan 1 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{1}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{35}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{1}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{35+1}{4}$$

Tambahkan \frac{35}{4} pada \frac{1}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=9$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=9$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{1}{2}=3 x+\frac{1}{2}=-3$$

Tolak \frac{1}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{7}{2}$$