Selesaikan 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0.5+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.414213562i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, 4 dengan b dan 9 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Kuasa dua 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Tambahkan 16 pada -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan -4 pada 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Bahagikan -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} dengan 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 8i\sqrt{2} daripada -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Bahagikan -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} dengan 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Menolak 9 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Bahagikan 4 dengan 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Bahagikan 1 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{1}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{1}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Tambahkan -\frac{9}{4} pada \frac{1}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Tolak \frac{1}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$