Selesaikan 4x^2+3x+22=0

$$4 x ^ { 2 } + 3 x + 22 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-3+7\sqrt{7}i}{8}\approx -0.375+2.315032397i$$

$$x=\frac{-7\sqrt{7}i-3}{8}\approx -0.375-2.315032397i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}+3x+22=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, 3 dengan b dan 22 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\times 22}}{2\times 4}$$

Kuasa dua 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\times 22}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-16\times 22}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali 22.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-352}}{2\times 4}$$

Tambahkan 9 pada -352.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-343}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua -343.

$$x=\frac{-3±7\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{-3±7\sqrt{7}i}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-3±7\sqrt{7}i}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan -3 pada 7i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-3+7\sqrt{7}i}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-3±7\sqrt{7}i}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 7i\sqrt{7} daripada -3.

$$x=\frac{-7\sqrt{7}i-3}{8}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-3+7\sqrt{7}i}{8} x=\frac{-7\sqrt{7}i-3}{8}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+3x+22=0$$

Tolak 22 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}+3x+22-22=-22$$

Menolak 22 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}+3x=-22$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}+3x}{4}=-\frac{22}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{22}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-22}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{11}{2}$$

Bahagikan \frac{3}{4} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{3}{8}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{3}{8} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{11}{2}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{3}{8} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{11}{2}+\frac{9}{64}$$

Tambahkan -\frac{11}{2} pada \frac{9}{64} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{343}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{343}{64}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{343}{64}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{7\sqrt{7}i}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{7\sqrt{7}i}{8}$$

Tolak \frac{3}{8} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{-3+7\sqrt{7}i}{8} x=\frac{-7\sqrt{7}i-3}{8}$$