Selesaikan 4x^2+28x+53=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 53 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=-\frac{7}{2}+i=-3.5+i$$

$$x=-\frac{7}{2}-i=-3.5-i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, 28 dengan b dan 53 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Kuasa dua 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 53}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali 53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-848}}{2\times 4}$$

Tambahkan 784 pada -848.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua -64.

$$x=\frac{-28±8i}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{-28±8i}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-28±8i}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan -28 pada 8i.

$$x=\frac{-28+8i}{8}$$

Bahagikan -28+8i dengan 8.

$$x=-\frac{7}{2}+i$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-28±8i}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 8i daripada -28.

$$x=\frac{-28-8i}{8}$$

Bahagikan -28-8i dengan 8.

$$x=-\frac{7}{2}-i$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Tolak 53 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}+28x+53-53=-53$$

Menolak 53 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}+28x=-53$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{53}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{53}{4}$$

Bahagikan 28 dengan 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{53}{4}$$

Bahagikan 7 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{7}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{7}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{53}{4}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{7}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{-53+49}{4}$$

Tambahkan -\frac{53}{4} pada \frac{49}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-1$$

Faktor x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-1$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{7}{2}=i x+\frac{7}{2}=-i$$

Tolak \frac{7}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$