Selesaikan 4t^2-43t-11=0

$$4 t ^ { 2 } - 43 t - 11 = 0$$

Selesaikan untuk t

$$t=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$t=11$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 4t^{2}+at+bt-11. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-43 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -43.

$$a=-44 b=1$$

Tulis semula 4t^{2}-43t-11 sebagai \left(4t^{2}-44t\right)+\left(t-11\right).

$$\left(4t^{2}-44t\right)+\left(t-11\right)$$

Faktorkan 4t dalam 4t^{2}-44t.

$$4t\left(t-11\right)+t-11$$

Faktorkan sebutan lazim t-11 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(t-11\right)\left(4t+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan t-11=0 dan 4t+1=0.

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4t^{2}-43t-11=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -43 dengan b dan -11 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -43.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali -11.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849+176}}{2\times 4}$$

Tambahkan 1849 pada 176.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{2025}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 2025.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±45}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -43 ialah 43.

$$t=\frac{43±45}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$t=\frac{43±45}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan t=\frac{43±45}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 43 pada 45.

$$t=\frac{88}{8}$$

Bahagikan 88 dengan 8.

$$t=11$$

Sekarang selesaikan persamaan t=\frac{43±45}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 45 daripada 43.

$$t=-\frac{2}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{-2}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$t=-\frac{1}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4t^{2}-43t-11=0$$

Tambahkan 11 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4t^{2}-43t-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Menolak -11 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4t^{2}-43t=-\left(-11\right)$$

Tolak -11 daripada 0.

$$4t^{2}-43t=11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4t^{2}-43t}{4}=\frac{11}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t=\frac{11}{4}$$

Bahagikan -\frac{43}{4} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{43}{8}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{43}{8} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\left(-\frac{43}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{43}{8}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{43}{8} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64}=\frac{11}{4}+\frac{1849}{64}$$

Tambahkan \frac{11}{4} pada \frac{1849}{64} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64}=\frac{2025}{64}$$

Faktor t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{43}{8}\right)^{2}=\frac{2025}{64}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(t-\frac{43}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{64}}$$

Permudahkan.

$$t-\frac{43}{8}=\frac{45}{8} t-\frac{43}{8}=-\frac{45}{8}$$

Tambahkan \frac{43}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$