Selesaikan 4p^2-3p-10=0

$$4 p ^ { 2 } - 3 p - 10 = 0$$

Selesaikan untuk p

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$p=2$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 4p^{2}+ap+bp-10. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-3 ab=4\left(-10\right)=-40$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -3.

$$a=-8 b=5$$

Tulis semula 4p^{2}-3p-10 sebagai \left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right).

$$\left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right)$$

Faktorkan 4p dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$4p\left(p-2\right)+5\left(p-2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim p-2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(p-2\right)\left(4p+5\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan p-2=0 dan 4p+5=0.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -3 dengan b dan -10 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -3.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali -10.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+160}}{2\times 4}$$

Tambahkan 9 pada 160.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 169.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±13}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -3 ialah 3.

$$p=\frac{3±13}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$p=\frac{3±13}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan p=\frac{3±13}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 3 pada 13.

$$p=\frac{16}{8}$$

Bahagikan 16 dengan 8.

$$p=2$$

Sekarang selesaikan persamaan p=\frac{3±13}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 13 daripada 3.

$$p=-\frac{10}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{-10}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$p=-\frac{5}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4p^{2}-3p-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Menolak -10 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4p^{2}-3p=-\left(-10\right)$$

Tolak -10 daripada 0.

$$4p^{2}-3p=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4p^{2}-3p}{4}=\frac{10}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{10}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{10}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{5}{2}$$

Bahagikan -\frac{3}{4} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{3}{8}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{3}{8} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{3}{8} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{5}{2}+\frac{9}{64}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada \frac{9}{64} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{169}{64}$$

Faktor p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Permudahkan.

$$p-\frac{3}{8}=\frac{13}{8} p-\frac{3}{8}=-\frac{13}{8}$$

Tambahkan \frac{3}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$