Selesaikan 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Selesaikan untuk n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 11 daripada kedua-dua belah.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 4n^{2}+an+bn-11. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -7.

$$a=-11 b=4$$

Tulis semula 4n^{2}-7n-11 sebagai \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Faktorkan n dalam 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Faktorkan sebutan lazim 4n-11 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 4n-11=0 dan n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4n^{2}-7n=11$$

Tolak 11 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Menolak 11 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -7 dengan b dan -11 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Tambahkan 49 pada 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -7 ialah 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{7±15}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 7 pada 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{22}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{7±15}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 15 daripada 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Bahagikan -8 dengan 8.

$$n=-1$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Bahagikan -\frac{7}{4} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{7}{8}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{7}{8} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{7}{8} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Tambahkan \frac{11}{4} pada \frac{49}{64} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Faktor n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Permudahkan.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Tambahkan \frac{7}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$