Selesaikan 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Tolak 169 daripada 4 untuk mendapatkan -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 4x^{2}+ax+bx-165. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -660.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 8.

$$a=-22 b=30$$

Tulis semula 4x^{2}+8x-165 sebagai \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

Faktorkan 2x dalam kumpulan pertama dan 15 dalam kumpulan kedua.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-11 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-11=0 dan 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Tolak 169 daripada 4 untuk mendapatkan -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, 8 dengan b dan -165 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Kuasa dua 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Tambahkan 64 pada 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-8±52}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan -8 pada 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{44}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-8±52}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 52 daripada -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{-60}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Tolak 169 daripada 4 untuk mendapatkan -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Tambahkan 165 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$4x^{2}+8x=165$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Bahagikan 8 dengan 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Bahagikan 2 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan 1. Kemudian tambahkan kuasa dua 1 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

Kuasa dua 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Tambahkan \frac{165}{4} pada 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Faktor x^{2}+2x+1. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Permudahkan.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$