Selesaikan 4x^2-6x+4=0

$$4 { x }^{ 2 } -6x+4=0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{7}i}{4}\approx 0.75+0.661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+3}{4}\approx 0.75-0.661437828i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}-6x+4=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -6 dengan b dan 4 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 4\times 4}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 4\times 4}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-16\times 4}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-64}}{2\times 4}$$

Tambahkan 36 pada -64.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-28}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua -28.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -6 ialah 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{6±2\sqrt{7}i}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{6±2\sqrt{7}i}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 6 pada 2i\sqrt{7}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{7}i}{8}$$

Bahagikan 6+2i\sqrt{7} dengan 8.

$$x=\frac{3+\sqrt{7}i}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{6±2\sqrt{7}i}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 2i\sqrt{7} daripada 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}i+6}{8}$$

Bahagikan 6-2i\sqrt{7} dengan 8.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+3}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{3+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+3}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-6x+4=0$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}-6x+4-4=-4$$

Menolak 4 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}-6x=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}-6x}{4}=-\frac{4}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{4}\right)x=-\frac{4}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-6}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{4}$$

Bahagikan -4 dengan 4.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-1$$

Bahagikan -\frac{3}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{3}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{3}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{3}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-1+\frac{9}{16}$$

Tambahkan -1 pada \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{7}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Tambahkan \frac{3}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{3+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+3}{4}$$