Selesaikan 4x^2-5x-6=15

$$4 { x }^{ 2 } -5x-6=15$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x=3$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 15 daripada kedua-dua belah.

$$4x^{2}-5x-6-15=0$$

Tolak 15 daripada -6 untuk mendapatkan -21.

$$4x^{2}-5x-21=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 4x^{2}+ax+bx-21. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-5 ab=4\left(-21\right)=-84$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -5.

$$a=-12 b=7$$

Tulis semula 4x^{2}-5x-21 sebagai \left(4x^{2}-12x\right)+\left(7x-21\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(7x-21\right)$$

Faktorkan 4x dalam kumpulan pertama dan 7 dalam kumpulan kedua.

$$4x\left(x-3\right)+7\left(x-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-3\right)\left(4x+7\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-3=0 dan 4x+7=0.

$$x=3 x=-\frac{7}{4}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}-5x-6=15$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}-5x-6-15=15-15$$

Menolak 15 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}-5x-6-15=0$$

Tolak 15 daripada -6.

$$4x^{2}-5x-21=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -5 dengan b dan -21 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali -21.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+336}}{2\times 4}$$

Tambahkan 25 pada 336.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{361}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 361.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±19}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -5 ialah 5.

$$x=\frac{5±19}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{5±19}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±19}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 5 pada 19.

$$x=\frac{24}{8}$$

Bahagikan 24 dengan 8.

$$x=3$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±19}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 19 daripada 5.

$$x=-\frac{14}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{-14}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=3 x=-\frac{7}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x-6=15$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}-5x-6-\left(-6\right)=15-\left(-6\right)$$

Menolak -6 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}-5x=15-\left(-6\right)$$

Tolak -6 daripada 15.

$$4x^{2}-5x=21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{21}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{21}{4}$$

Bahagikan -\frac{5}{4} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{8}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{8} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{21}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{8} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{21}{4}+\frac{25}{64}$$

Tambahkan \frac{21}{4} pada \frac{25}{64} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{361}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{361}{64}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{64}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{19}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{19}{8}$$

Tambahkan \frac{5}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3 x=-\frac{7}{4}$$