Selesaikan 4x^2-5x+10=0

$$4 { x }^{ 2 } -5x+10=0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}\approx 0.625+1.452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}\approx 0.625-1.452368755i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -5 dengan b dan 10 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\times 10}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali 10.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-160}}{2\times 4}$$

Tambahkan 25 pada -160.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-135}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua -135.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -5 ialah 5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 5 pada 3i\sqrt{15}.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 3i\sqrt{15} daripada 5.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}-5x+10-10=-10$$

Menolak 10 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}-5x=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{10}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-10}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{5}{2}$$

Bahagikan -\frac{5}{4} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{8}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{8} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{8} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{5}{2}+\frac{25}{64}$$

Tambahkan -\frac{5}{2} pada \frac{25}{64} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{135}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

Tambahkan \frac{5}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$