Selesaikan 4x^2-4x-3=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-3 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 4x^{2}+ax+bx-3. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -4.

$$a=-6 b=2$$

Tulis semula 4x^{2}-4x-3 sebagai \left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right)$$

Faktorkan 2x dalam 4x^{2}-6x.

$$2x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-3=0 dan 2x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}-4x-3=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -4 dengan b dan -3 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali -3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

Tambahkan 16 pada 48.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 64.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -4 ialah 4.

$$x=\frac{4±8}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{4±8}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{4±8}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 4 pada 8.

$$x=\frac{12}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{12}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{4±8}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 8 daripada 4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{-4}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-3=0$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}-4x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Menolak -3 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-3\right)$$

Tolak -3 daripada 0.

$$4x^{2}-4x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{3}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{3}{4}$$

Bahagikan -4 dengan 4.

$$x^{2}-x=\frac{3}{4}$$

Bahagikan -1 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3+1}{4}$$

Tambahkan \frac{3}{4} pada \frac{1}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=1$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{1}{2}=1 x-\frac{1}{2}=-1$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$