Selesaikan 4x^2-2x+7=0

$$4 { x }^{ 2 } -2x+7=0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{1+3\sqrt{3}i}{4}\approx 0.25+1.299038106i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{4}\approx 0.25-1.299038106i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}-2x+7=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -2 dengan b dan 7 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\times 7}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali 7.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-112}}{2\times 4}$$

Tambahkan 4 pada -112.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-108}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua -108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±6\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -2 ialah 2.

$$x=\frac{2±6\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{2±6\sqrt{3}i}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±6\sqrt{3}i}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 2 pada 6i\sqrt{3}.

$$x=\frac{2+6\sqrt{3}i}{8}$$

Bahagikan 2+6i\sqrt{3} dengan 8.

$$x=\frac{1+3\sqrt{3}i}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±6\sqrt{3}i}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 6i\sqrt{3} daripada 2.

$$x=\frac{-6\sqrt{3}i+2}{8}$$

Bahagikan 2-6i\sqrt{3} dengan 8.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1+3\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x+7=0$$

Tolak 7 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}-2x+7-7=-7$$

Menolak 7 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}-2x=-7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=-\frac{7}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=-\frac{7}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-2}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{7}{4}$$

Bahagikan -\frac{1}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{7}{4}+\frac{1}{16}$$

Tambahkan -\frac{7}{4} pada \frac{1}{16} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{27}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{27}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{27}{16}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{3\sqrt{3}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{3\sqrt{3}i}{4}$$

Tambahkan \frac{1}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1+3\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{4}$$