Selesaikan 4x^2-12x-7=0

$$4 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 4x^{2}+ax+bx-7. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-12 ab=4\left(-7\right)=-28$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -12.

$$a=-14 b=2$$

Tulis semula 4x^{2}-12x-7 sebagai \left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right).

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right)$$

Faktorkan 2x dalam 4x^{2}-14x.

$$2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-7 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-7=0 dan 2x+1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, -12 dengan b dan -7 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+112}}{2\times 4}$$

Tambahkan 144 pada 112.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 256.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±16}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -12 ialah 12.

$$x=\frac{12±16}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{12±16}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{12±16}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 12 pada 16.

$$x=\frac{28}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{28}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=\frac{7}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{12±16}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 16 daripada 12.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{-4}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Tambahkan 7 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Menolak -7 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

Tolak -7 daripada 0.

$$4x^{2}-12x=7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{7}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{7}{4}$$

Bahagikan -12 dengan 4.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{4}$$

Bahagikan -3 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{3}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{3}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{3}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7+9}{4}$$

Tambahkan \frac{7}{4} pada \frac{9}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=4$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{3}{2}=2 x-\frac{3}{2}=-2$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$