Selesaikan 4x^2-12x-7

$$4 { x }^{ 2 } -12x-7$$

Faktor

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 4x^{2}+ax+bx-7. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-12 ab=4\left(-7\right)=-28$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -12.

$$a=-14 b=2$$

Tulis semula 4x^{2}-12x-7 sebagai \left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right).

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right)$$

Faktorkan 2x dalam 4x^{2}-14x.

$$2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-7 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Kuasa dua -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+112}}{2\times 4}$$

Tambahkan 144 pada 112.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 256.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±16}{2\times 4}$$

Nombor bertentangan -12 ialah 12.

$$x=\frac{12±16}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{12±16}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{12±16}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan 12 pada 16.

$$x=\frac{28}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{28}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=\frac{7}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{12±16}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 16 daripada 12.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{-4}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{7}{2} dengan x_{1} dan -\frac{1}{2} dengan x_{2}.

$$4x^{2}-12x-7=4\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$4x^{2}-12x-7=4\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Tolak \frac{7}{2} daripada x dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$4x^{2}-12x-7=4\times \frac{2x-7}{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada x dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$4x^{2}-12x-7=4\times \frac{2x-7}{2}\times \frac{2x+1}{2}$$

Darabkan \frac{2x-7}{2} dengan \frac{2x+1}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$4x^{2}-12x-7=4\times \frac{\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$4x^{2}-12x-7=4\times \frac{\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)}{4}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 4 dalam 4 dan 4.

$$4x^{2}-12x-7=\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Nilaikan

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$