Selesaikan 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Selesaikan untuk x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 120 daripada kedua-dua belah.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-30. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 1.

$$a=-5 b=6$$

Tulis semula x^{2}+x-30 sebagai \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 6 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-5=0 dan x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}+4x=120$$

Tolak 120 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Menolak 120 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, 4 dengan b dan -120 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Kuasa dua 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Tambahkan 16 pada 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±44}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan -4 pada 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Bahagikan 40 dengan 8.

$$x=5$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±44}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 44 daripada -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Bahagikan -48 dengan 8.

$$x=-6$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=5 x=-6$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Bahagikan 4 dengan 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Bahagikan 120 dengan 4.

$$x^{2}+x=30$$

Bahagikan 1 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{1}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{1}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Tambahkan 30 pada \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Tolak \frac{1}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=5 x=-6$$