Selesaikan 4t^2+3t=1

$$4 { t }^{ 2 } +3t = 1$$

Selesaikan untuk t

$$t=-1$$

$$t=\frac{1}{4}=0.25$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 1 daripada kedua-dua belah.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 4t^{2}+at+bt-1. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=3 ab=4\left(-1\right)=-4$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -4.

$$-1,4 -2,2$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 3.

$$a=-1 b=4$$

Tulis semula 4t^{2}+3t-1 sebagai \left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right).

$$\left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right)$$

Faktorkan t dalam 4t^{2}-t.

$$t\left(4t-1\right)+4t-1$$

Faktorkan sebutan lazim 4t-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(4t-1\right)\left(t+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 4t-1=0 dan t+1=0.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4t^{2}+3t=1$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4t^{2}+3t-1=1-1$$

Menolak 1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, 3 dengan b dan -1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kuasa dua 3.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali -1.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\times 4}$$

Tambahkan 9 pada 16.

$$t=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 25.

$$t=\frac{-3±5}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$t=\frac{-3±5}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan t=\frac{-3±5}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan -3 pada 5.

$$t=\frac{2}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{2}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$t=\frac{1}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan t=\frac{-3±5}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 5 daripada -3.

$$t=-\frac{8}{8}$$

Bahagikan -8 dengan 8.

$$t=-1$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4t^{2}+3t=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4t^{2}+3t}{4}=\frac{1}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t=\frac{1}{4}$$

Bahagikan \frac{3}{4} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{3}{8}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{3}{8} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{3}{8} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Tambahkan \frac{1}{4} pada \frac{9}{64} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Faktor t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Permudahkan.

$$t+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} t+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Tolak \frac{3}{8} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$