Selesaikan 39x^2+14x-9=0

$$39 { x }^{ 2 } +14x-9=0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{9}{13}\approx -0.692307692$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 39x^{2}+ax+bx-9. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=14 ab=39\left(-9\right)=-351$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -351.

$$-1,351 -3,117 -9,39 -13,27$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+351=350 -3+117=114 -9+39=30 -13+27=14$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 14.

$$a=-13 b=27$$

Tulis semula 39x^{2}+14x-9 sebagai \left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right).

$$\left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right)$$

Faktorkan 13x dalam kumpulan pertama dan 9 dalam kumpulan kedua.

$$13x\left(3x-1\right)+9\left(3x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-1\right)\left(13x+9\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x-1=0 dan 13x+9=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 39 dengan a, 14 dengan b dan -9 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Kuasa dua 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Darabkan -4 kali 39.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-156\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Darabkan -156 kali -9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+1404}}{2\times 39}$$

Tambahkan 196 pada 1404.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1600}}{2\times 39}$$

Ambil punca kuasa dua 1600.

$$x=\frac{-14±40}{2\times 39}$$

Darabkan 2 kali 39.

$$x=\frac{-14±40}{78}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-14±40}{78} apabila ± ialah plus. Tambahkan -14 pada 40.

$$x=\frac{26}{78}$$

Kurangkan pecahan \frac{26}{78} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 26.

$$x=\frac{1}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-14±40}{78} apabila ± ialah minus. Tolak 40 daripada -14.

$$x=-\frac{54}{78}$$

Kurangkan pecahan \frac{-54}{78} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{9}{13}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$39x^{2}+14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Menolak -9 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$39x^{2}+14x=-\left(-9\right)$$

Tolak -9 daripada 0.

$$39x^{2}+14x=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 39.

$$\frac{39x^{2}+14x}{39}=\frac{9}{39}$$

Membahagi dengan 39 membuat asal pendaraban dengan 39.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{9}{39}$$

Kurangkan pecahan \frac{9}{39} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{3}{13}$$

Bahagikan \frac{14}{39} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{7}{39}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{7}{39} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{3}{13}+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{7}{39} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{3}{13}+\frac{49}{1521}$$

Tambahkan \frac{3}{13} pada \frac{49}{1521} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{400}{1521}$$

Faktor x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{400}{1521}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{1521}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{7}{39}=\frac{20}{39} x+\frac{7}{39}=-\frac{20}{39}$$

Tolak \frac{7}{39} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$