Selesaikan 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0.048387097+0.172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0.048387097-0.172964602i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 31 dengan a, -3 dengan b dan 1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

Kuasa dua -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

Darabkan -4 kali 31.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

Tambahkan 9 pada -124.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

Ambil punca kuasa dua -115.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Nombor bertentangan -3 ialah 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Darabkan 2 kali 31.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} apabila ± ialah plus. Tambahkan 3 pada i\sqrt{115}.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} apabila ± ialah minus. Tolak i\sqrt{115} daripada 3.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

Menolak 1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$31x^{2}-3x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 31.

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

Membahagi dengan 31 membuat asal pendaraban dengan 31.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

Bahagikan -\frac{3}{31} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{3}{62}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{3}{62} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{3}{62} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

Tambahkan -\frac{1}{31} pada \frac{9}{3844} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

Tambahkan \frac{3}{62} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$