Selesaikan 30x+21x^2=3384

$$30 x + 21 x ^ { 2 } = 3384$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{94}{7} = -13\frac{3}{7} \approx -13.428571429$$

$$x=12$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 3384 daripada kedua-dua belah.

$$30x+21x^{2}-3384=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$10x+7x^{2}-1128=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$7x^{2}+10x-1128=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 7x^{2}+ax+bx-1128. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=10 ab=7\left(-1128\right)=-7896$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -7896.

$$-1,7896 -2,3948 -3,2632 -4,1974 -6,1316 -7,1128 -8,987 -12,658 -14,564 -21,376 -24,329 -28,282 -42,188 -47,168 -56,141 -84,94$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+7896=7895 -2+3948=3946 -3+2632=2629 -4+1974=1970 -6+1316=1310 -7+1128=1121 -8+987=979 -12+658=646 -14+564=550 -21+376=355 -24+329=305 -28+282=254 -42+188=146 -47+168=121 -56+141=85 -84+94=10$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 10.

$$a=-84 b=94$$

Tulis semula 7x^{2}+10x-1128 sebagai \left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right).

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)$$

Faktorkan 7x dalam kumpulan pertama dan 94 dalam kumpulan kedua.

$$7x\left(x-12\right)+94\left(x-12\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-12 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-12\right)\left(7x+94\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-12=0 dan 7x+94=0.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Tolak 3384 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$21x^{2}+30x-3384=3384-3384$$

Menolak 3384 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$21x^{2}+30x-3384=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 21 dengan a, 30 dengan b dan -3384 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Kuasa dua 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Darabkan -4 kali 21.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-84\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Darabkan -84 kali -3384.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+284256}}{2\times 21}$$

Tambahkan 900 pada 284256.

$$x=\frac{-30±\sqrt{285156}}{2\times 21}$$

Ambil punca kuasa dua 285156.

$$x=\frac{-30±534}{2\times 21}$$

Darabkan 2 kali 21.

$$x=\frac{-30±534}{42}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-30±534}{42} apabila ± ialah plus. Tambahkan -30 pada 534.

$$x=\frac{504}{42}$$

Bahagikan 504 dengan 42.

$$x=12$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-30±534}{42} apabila ± ialah minus. Tolak 534 daripada -30.

$$x=-\frac{564}{42}$$

Kurangkan pecahan \frac{-564}{42} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{94}{7}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 21.

$$\frac{21x^{2}+30x}{21}=\frac{3384}{21}$$

Membahagi dengan 21 membuat asal pendaraban dengan 21.

$$x^{2}+\frac{30}{21}x=\frac{3384}{21}$$

Kurangkan pecahan \frac{30}{21} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{3384}{21}$$

Kurangkan pecahan \frac{3384}{21} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{1128}{7}$$

Bahagikan \frac{10}{7} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{5}{7}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{5}{7} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1128}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{5}{7} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1128}{7}+\frac{25}{49}$$

Tambahkan \frac{1128}{7} pada \frac{25}{49} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7921}{49}$$

Faktor x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7921}{49}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{49}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{5}{7}=\frac{89}{7} x+\frac{5}{7}=-\frac{89}{7}$$

Tolak \frac{5}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$