Selesaikan 3-frac{sqrt{2}}{(1-sqrt{5}}

$$3- \frac{ \sqrt{ 2 } }{ (1- \sqrt{ 5 } }$$

Nilaikan

$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}+12}{4}\approx 4.144122806$$

Langkah Penyelesaian Pendek

Nisbahkan penyebut \frac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{5}} dengan mendarabkan pembilang dan penyebut dengan 1+\sqrt{5}.

$$3-\frac{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{5}\right)}{\left(1-\sqrt{5}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}$$

Pertimbangkan \left(1-\sqrt{5}\right)\left(1+\sqrt{5}\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$3-\frac{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{5}\right)}{1^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Kuasa dua 1. Kuasa dua \sqrt{5}.

$$3-\frac{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{5}\right)}{1-5}$$

Tolak 5 daripada 1 untuk mendapatkan -4.

$$3-\frac{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{5}\right)}{-4}$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab \sqrt{2} dengan 1+\sqrt{5}.

$$3-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}\sqrt{5}}{-4}$$

Untuk mendarab \sqrt{2} dan \sqrt{5}, darabkan nombor di bawah punca kuasa dua.

$$3-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{-4}$$

Darabkan kedua-dua pengangka dan penyebut dengan -1.

$$3-\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{10}}{4}$$

Untuk menambah atau menolak ungkapan, kembangkannya untuk membuat penyebut mereka sama. Darabkan 3 kali \frac{4}{4}.

$$\frac{3\times 4}{4}-\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{10}}{4}$$

Oleh kerana \frac{3\times 4}{4} dan \frac{-\sqrt{2}-\sqrt{10}}{4} mempunyai penyebut yang sama, tolakkan dengan menolakkan pengangka.

$$\frac{3\times 4-\left(-\sqrt{2}-\sqrt{10}\right)}{4}$$

Lakukan pendaraban dalam 3\times 4-\left(-\sqrt{2}-\sqrt{10}\right).

$$\frac{12+\sqrt{2}+\sqrt{10}}{4}$$