Selesaikan 3z^2+38z-13=0

$$3 z ^ { 2 } + 38 z - 13 = 0$$

Selesaikan untuk z

$$z=-13$$

$$z=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3z^{2}+az+bz-13. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=38 ab=3\left(-13\right)=-39$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -39.

$$-1,39 -3,13$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+39=38 -3+13=10$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 38.

$$a=-1 b=39$$

Tulis semula 3z^{2}+38z-13 sebagai \left(3z^{2}-z\right)+\left(39z-13\right).

$$\left(3z^{2}-z\right)+\left(39z-13\right)$$

Faktorkan z dalam kumpulan pertama dan 13 dalam kumpulan kedua.

$$z\left(3z-1\right)+13\left(3z-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3z-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3z-1\right)\left(z+13\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3z-1=0 dan z+13=0.

$$z=\frac{1}{3} z=-13$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3z^{2}+38z-13=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, 38 dengan b dan -13 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-38±\sqrt{38^{2}-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Kuasa dua 38.

$$z=\frac{-38±\sqrt{1444-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$z=\frac{-38±\sqrt{1444-12\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -13.

$$z=\frac{-38±\sqrt{1444+156}}{2\times 3}$$

Tambahkan 1444 pada 156.

$$z=\frac{-38±\sqrt{1600}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 1600.

$$z=\frac{-38±40}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$z=\frac{-38±40}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{-38±40}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan -38 pada 40.

$$z=\frac{2}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{2}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$z=\frac{1}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{-38±40}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 40 daripada -38.

$$z=-\frac{78}{6}$$

Bahagikan -78 dengan 6.

$$z=-13$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$z=\frac{1}{3} z=-13$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+38z-13=0$$

Tambahkan 13 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3z^{2}+38z-13-\left(-13\right)=-\left(-13\right)$$

Menolak -13 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3z^{2}+38z=-\left(-13\right)$$

Tolak -13 daripada 0.

$$3z^{2}+38z=13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3z^{2}+38z}{3}=\frac{13}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$z^{2}+\frac{38}{3}z=\frac{13}{3}$$

Bahagikan \frac{38}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{19}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{19}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$z^{2}+\frac{38}{3}z+\left(\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{13}{3}+\left(\frac{19}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{19}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$z^{2}+\frac{38}{3}z+\frac{361}{9}=\frac{13}{3}+\frac{361}{9}$$

Tambahkan \frac{13}{3} pada \frac{361}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$z^{2}+\frac{38}{3}z+\frac{361}{9}=\frac{400}{9}$$

Faktor z^{2}+\frac{38}{3}z+\frac{361}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{400}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(z+\frac{19}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{9}}$$

Permudahkan.

$$z+\frac{19}{3}=\frac{20}{3} z+\frac{19}{3}=-\frac{20}{3}$$

Tolak \frac{19}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$z=\frac{1}{3} z=-13$$