Selesaikan 3y^2-y-4=0

$$3 y ^ { 2 } - y - 4 = 0$$

Selesaikan untuk y

$$y=-1$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3y^{2}+ay+by-4. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -1.

$$a=-4 b=3$$

Tulis semula 3y^{2}-y-4 sebagai \left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right).

$$\left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right)$$

Faktorkan y dalam 3y^{2}-4y.

$$y\left(3y-4\right)+3y-4$$

Faktorkan sebutan lazim 3y-4 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3y-4\right)\left(y+1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3y-4=0 dan y+1=0.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3y^{2}-y-4=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -1 dengan b dan -4 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali -4.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

Tambahkan 1 pada 48.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 49.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -1 ialah 1.

$$y=\frac{1±7}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$y=\frac{1±7}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{1±7}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 1 pada 7.

$$y=\frac{8}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{8}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$y=\frac{4}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{1±7}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 7 daripada 1.

$$y=-\frac{6}{6}$$

Bahagikan -6 dengan 6.

$$y=-1$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}-y-4=0$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3y^{2}-y-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Menolak -4 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3y^{2}-y=-\left(-4\right)$$

Tolak -4 daripada 0.

$$3y^{2}-y=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3y^{2}-y}{3}=\frac{4}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y=\frac{4}{3}$$

Bahagikan -\frac{1}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{6}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{6} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{6} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

Tambahkan \frac{4}{3} pada \frac{1}{36} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

Faktor y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Permudahkan.

$$y-\frac{1}{6}=\frac{7}{6} y-\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

Tambahkan \frac{1}{6} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$