Selesaikan 3y^2-11y+10=0

$$3 y ^ { 2 } - 11 y + 10 = 0$$

Selesaikan untuk y

$$y=2$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3y^{2}+ay+by+10. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-11 ab=3\times 10=30$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -11.

$$a=-6 b=-5$$

Tulis semula 3y^{2}-11y+10 sebagai \left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right).

$$\left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right)$$

Faktorkan 3y dalam kumpulan pertama dan -5 dalam kumpulan kedua.

$$3y\left(y-2\right)-5\left(y-2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim y-2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(y-2\right)\left(3y-5\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan y-2=0 dan 3y-5=0.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -11 dengan b dan 10 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -11.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\times 10}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali 10.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2\times 3}$$

Tambahkan 121 pada -120.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 1.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±1}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -11 ialah 11.

$$y=\frac{11±1}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$y=\frac{11±1}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{11±1}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 11 pada 1.

$$y=\frac{12}{6}$$

Bahagikan 12 dengan 6.

$$y=2$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{11±1}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 1 daripada 11.

$$y=\frac{10}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{10}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$y=\frac{5}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3y^{2}-11y+10-10=-10$$

Menolak 10 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3y^{2}-11y=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3y^{2}-11y}{3}=-\frac{10}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Bahagikan -\frac{11}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{11}{6}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{11}{6} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{11}{6} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{121}{36}$$

Tambahkan -\frac{10}{3} pada \frac{121}{36} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{1}{36}$$

Faktor y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Permudahkan.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{1}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{1}{6}$$

Tambahkan \frac{11}{6} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$