Selesaikan 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Faktor

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Langkah Penyelesaian

Darab dan gabungkan sebutan serupa.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Untuk memfaktorkan ungkapan, selesaikan persamaan di mana ia bersamaan dengan 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -16 dan q membahagikan pekali pelopor 3. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=-4$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 dengan x+4 untuk mendapatkan 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Untuk memfaktorkan hasil, selesaikan persamaan di mana ia bersamaan dengan 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -4 dan q membahagikan pekali pelopor 3. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=-4$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan 3x^{3}+12x^{2}-x-4 dengan x+4 untuk mendapatkan 3x^{2}-1. Untuk memfaktorkan hasil, selesaikan persamaan di mana ia bersamaan dengan 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 3 untuk a, 0 untuk b dan -1 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Selesaikan persamaan 3x^{2}-1=0 apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Tulis semula ungkapan difaktorkan dengan menggunakan punca diperolehi. Polinomial 3x^{2}-1 tidak difaktorkan kerana ia tidak mempunyai sebarang punca rasional.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Nilaikan

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Langkah Penyelesaian

Gabungkan 48x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$