Selesaikan 3x^3-x^2-x-1=0

$$3 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - x - 1 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0.333333333-0.471404521i$$

$$x=1$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0.333333333+0.471404521i$$

Langkah Penyelesaian

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -1 dan q membahagikan pekali pelopor 3. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{3},±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=1$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan 3x^{3}-x^{2}-x-1 dengan x-1 untuk mendapatkan 3x^{2}+2x+1. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 3 untuk a, 2 untuk b dan 1 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\times 1}}{2\times 3}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{6}$$

Selesaikan persamaan 3x^{2}+2x+1=0 apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3} x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$x=1 x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3} x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Selesaikan untuk x

$$x=1$$

Langkah Penyelesaian

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -1 dan q membahagikan pekali pelopor 3. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{3},±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=1$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan 3x^{3}-x^{2}-x-1 dengan x-1 untuk mendapatkan 3x^{2}+2x+1. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 3 untuk a, 2 untuk b dan 1 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\times 1}}{2\times 3}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{6}$$

Oleh kerana punca kuasa dua nombor negatif tidak ditakrifkan dalam medan sebenar, tiada penyelesaian.

$$x\in \emptyset$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$x=1$$