Selesaikan 3x^2-7x+5=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 5 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}\approx 1.166666667+0.552770798i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}\approx 1.166666667-0.552770798i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -7 dengan b dan 5 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 5}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-60}}{2\times 3}$$

Tambahkan 49 pada -60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-11}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua -11.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -7 ialah 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 7 pada i\sqrt{11}.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} apabila ± ialah minus. Tolak i\sqrt{11} daripada 7.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}-7x+5-5=-5$$

Menolak 5 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}-7x=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{5}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Bahagikan -\frac{7}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{7}{6}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{7}{6} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{7}{6} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{5}{3}+\frac{49}{36}$$

Tambahkan -\frac{5}{3} pada \frac{49}{36} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{11}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{36}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{11}i}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{11}i}{6}$$

Tambahkan \frac{7}{6} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$