Selesaikan 3x^2-7x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 4 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=1$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3x^{2}+ax+bx+4. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-7 ab=3\times 4=12$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -7.

$$a=-4 b=-3$$

Tulis semula 3x^{2}-7x+4 sebagai \left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan -1 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-4 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-4\right)\left(x-1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x-4=0 dan x-1=0.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -7 dengan b dan 4 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 4}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 3}$$

Tambahkan 49 pada -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -7 ialah 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{7±1}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±1}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 7 pada 1.

$$x=\frac{8}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{8}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±1}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 1 daripada 7.

$$x=\frac{6}{6}$$

Bahagikan 6 dengan 6.

$$x=1$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}-7x+4-4=-4$$

Menolak 4 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}-7x=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Bahagikan -\frac{7}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{7}{6}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{7}{6} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{7}{6} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{49}{36}$$

Tambahkan -\frac{4}{3} pada \frac{49}{36} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{1}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{1}{6}$$

Tambahkan \frac{7}{6} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$