Selesaikan 3x^2-54x=-204

$$3 x ^ { 2 } - 54 x = - 204$$

Selesaikan untuk x

$$x=\sqrt{13}+9\approx 12.605551275$$

$$x=9-\sqrt{13}\approx 5.394448725$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}-54x=-204$$

Tambahkan 204 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}-54x-\left(-204\right)=-204-\left(-204\right)$$

Menolak -204 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}-54x-\left(-204\right)=0$$

Tolak -204 daripada 0.

$$3x^{2}-54x+204=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -54 dengan b dan 204 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 3\times 204}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -54.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 3\times 204}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-12\times 204}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali 204.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2448}}{2\times 3}$$

Tambahkan 2916 pada -2448.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{468}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 468.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±6\sqrt{13}}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -54 ialah 54.

$$x=\frac{54±6\sqrt{13}}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{54±6\sqrt{13}}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{54±6\sqrt{13}}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 54 pada 6\sqrt{13}.

$$x=\frac{6\sqrt{13}+54}{6}$$

Bahagikan 54+6\sqrt{13} dengan 6.

$$x=\sqrt{13}+9$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{54±6\sqrt{13}}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 6\sqrt{13} daripada 54.

$$x=\frac{54-6\sqrt{13}}{6}$$

Bahagikan 54-6\sqrt{13} dengan 6.

$$x=9-\sqrt{13}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\sqrt{13}+9 x=9-\sqrt{13}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-54x=-204$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}-54x}{3}=-\frac{204}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{3}\right)x=-\frac{204}{3}$$

Bahagikan -54 dengan 3.

$$x^{2}-18x=-\frac{204}{3}$$

Bahagikan -204 dengan 3.

$$x^{2}-18x=-68$$

Bahagikan -18 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -9. Kemudian tambahkan kuasa dua -9 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=-68+\left(-9\right)^{2}$$

Kuasa dua -9.

$$x^{2}-18x+81=-68+81$$

Tambahkan -68 pada 81.

$$x^{2}-18x+81=13$$

Faktor x^{2}-18x+81. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=13$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{13}$$

Permudahkan.

$$x-9=\sqrt{13} x-9=-\sqrt{13}$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\sqrt{13}+9 x=9-\sqrt{13}$$