Selesaikan 3x^2-40x+96=0

$$3 x ^ { 2 } - 40 x + 96 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{4 \sqrt{7} + 20}{3} \approx 10.194335081$$

$$x = \frac{20 - 4 \sqrt{7}}{3} \approx 3.138998252$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}-40x+96=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -40 dengan b dan 96 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-12\times 96}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali 96.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1152}}{2\times 3}$$

Tambahkan 1600 pada -1152.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{448}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 448.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -40 ialah 40.

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 40 pada 8\sqrt{7}.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+40}{6}$$

Bahagikan 40+8\sqrt{7} dengan 6.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 8\sqrt{7} daripada 40.

$$x=\frac{40-8\sqrt{7}}{6}$$

Bahagikan 40-8\sqrt{7} dengan 6.

$$x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-40x+96=0$$

Tolak 96 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}-40x+96-96=-96$$

Menolak 96 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}-40x=-96$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}-40x}{3}=-\frac{96}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{96}{3}$$

Bahagikan -96 dengan 3.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-32$$

Bahagikan -\frac{40}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{20}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{20}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}=-32+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{20}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=-32+\frac{400}{9}$$

Tambahkan -32 pada \frac{400}{9}.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=\frac{112}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{112}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{112}{9}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{20}{3}=\frac{4\sqrt{7}}{3} x-\frac{20}{3}=-\frac{4\sqrt{7}}{3}$$

Tambahkan \frac{20}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$