Selesaikan 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3x^{2}+ax+bx+84. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -32.

$$a=-18 b=-14$$

Tulis semula 3x^{2}-32x+84 sebagai \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan -14 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-6 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-6=0 dan 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -32 dengan b dan 84 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Tambahkan 1024 pada -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -32 ialah 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{32±4}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 32 pada 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Bahagikan 36 dengan 6.

$$x=6$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{32±4}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 4 daripada 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{28}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Tolak 84 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Menolak 84 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Bahagikan -84 dengan 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Bahagikan -\frac{32}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{16}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{16}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{16}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Tambahkan -28 pada \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Tambahkan \frac{16}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$