Selesaikan 3x^2-20x+1=0

$$3 x ^ { 2 } - 20 x + 1 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 10}{3} \approx 6.616285934$$

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}\approx 0.050380733$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -20 dengan b dan 1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12}}{2\times 3}$$

Tambahkan 400 pada -12.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{388}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 388.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -20 ialah 20.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 20 pada 2\sqrt{97}.

$$x=\frac{2\sqrt{97}+20}{6}$$

Bahagikan 20+2\sqrt{97} dengan 6.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 2\sqrt{97} daripada 20.

$$x=\frac{20-2\sqrt{97}}{6}$$

Bahagikan 20-2\sqrt{97} dengan 6.

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x^{2}-20x+1-1=-1$$

Menolak 1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$3x^{2}-20x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Bahagikan -\frac{20}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{10}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{10}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{10}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{100}{9}$$

Tambahkan -\frac{1}{3} pada \frac{100}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{97}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{97}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{9}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{97}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{97}}{3}$$

Tambahkan \frac{10}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$